数的処理のコツ「数的推理”順列と組合せ”」

① 場合の数

事象Aの(がおこる)パターンの数のこと

ex…サイコロを2つ同時に投げた時、ぞろ目となる場合の数を求めよ。

「場合の数」というのは「パターン数」に変換して考えます。数学では「場合の数」のように、数学語？のような表現をもっています。それを理解して覚えることも、数学の成績を上げるために大切なことです。

② 記号とその意味

(1) n! (nの階乗)

「n!」⇔「n個のものを順番に並べる場合の数」

計算式は以下のようになります。

n!=n(n-1)(n-2)…2・1

例1…5人の学生を一列に並べる方法は何通りあるか。

解答1…5!=5×4×3×2×1=120通り

(2) nPr (Pはpermutationの頭文字)

「nPr」⇔「n個のものからrを選んで並べる場合の数」

計算式は以下のようになります。

nPr=n!/(n-r)!

=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

例2…6人の学生から4人選ぶときの並べ方を求めよ。

解答2…6P4=6×5×4×3=360通り

注…本来nとrに書く文字や数字は小さく書きますが、表記の都合上、大きくなっています。(3)のCも同様です。

(3) nCr (CはCombinationの頭文字)

「nCr」⇔「n個のものからrを選ぶ場合の数」

計算式は以下のようになります。

nCr=n!/r!(n-r)!

=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r(r-1)(r-2)…2・1

例3…7人から3人の選び方は何通りか求めよ。

解答3…7C3=7×6×5/3×2×1=35通り

組合せを考えるときのコツは「順列を先に考え、そこから”並びをなくす”」ことです。

文面表現としては”組合せ”ありきで、「組合せに並び替えが発生する」ように思います。しかし「計算の考え方は文面表現とは異なる」ので”順列を先に考えないとうまくいかない”のです。

組合せを考えるときは「順列の順番をなくす」と考えましょう。

例4…ある9人を3つの組に分ける。分け方は何通りか？

解答4…組合せを考えるときのポイント「順列→組合せ」で考えないとうまくいかないので、この問題もまず順列で考えます。この問題を順列で考えるというのは、3つの組の区別をつけるということです。まずはA,B,C組に分けると考えて、後でA,B,C組の区別をなくします。

9人をA,B,Cの3つの組に分ける場合の数を考える。

まず、9人の中から3人を選んでA組のメンバーとすると、その場合の数は

9C3

残りの6人から3人を選んでB組のメンバーとすると、その場合の数は

6C3

残りの3人は自動的にC組となるので、9人をA,B,Cの3つの組に分ける場合の数は

9C3×6C3通り

A,B,Cの区別をなくすと

1つの分け方に対してA,B,Cの区別は3!通りなので

9人をA,B,Cの3つの組に分ける場合の数を、この3!で割ってあげれば、9人をA,B,Cを3つの組に分ける場合の数を求めることができる。

よって、求める場合の数は

(9C3×6C3)/3!=280通り　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…答