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【数学苦手克服】「因数分解」とは何か？授業で理解できなかった人のための超基礎解説
「数学は暗記じゃなくて理解だ！」と言われて、何をすればいいか迷っていませんか？
公式を覚えようとしても「意味がわからない丸暗記はダメ」と否定され、どう勉強すればいいかわからず自信を失ってしまう……。そんな悩みを抱える中学生・高校生や学び直しの社会人は本当にたくさんいます。
ですが、安心してください。数学において「暗記」は決して悪いことではありません。むしろ、暗記こそが自力で思考するための大切な武器なのです。
この記事では、まず「正解を出すこと・解くこと」の呪縛から解放され、因数分解の本当の意味をステップバイステップで身につけていきます。
数学「理解レベル別ガイド」一覧
| レベル | テーマ・到達目標 | 状態 |
|---|---|---|
| レベル1（本記事） | 因数分解の「本当の意味」を知る・共通因数でくくる | 閲覧中 |
| レベル2 | 乗法公式の暗記と解法パターンの身につけ方（準備中） | 次回受講 |
| レベル3 | 複雑な因数分解・置き換えとたすき掛けの攻略（準備中） | 応用編 |
1. 小学校の算数で考える「因数分解」の正体
「因数分解」を授業で学んだけど理解できなかった人や、算数や数学で挫折してしまった人向けに解説します。
まず、次の問いに答えてみてください。
問： \(4 + 7\) を計算しなさい。
「え？ 11 に決まっている？」
「馬鹿にしているのか？」
まあまあ、そう焦らずに聞いてください。
では、次の問いにはどう答えますか？
問： 11 を見て、何を思いますか？
「え？今度はいきなり意味がわからないですって？」
では、次のような式変形を思いつきましたか？
\(11 = 4 + 7\)
「え？当たり前ですって？」
そうです！当たり前なんです！
でも、少しだけ立ち止まってほしいんです。なぜなら、「11」を見て「4 + 7」を「自力で思い出す」ことって、普段はあまりないからです。
実は因数分解は、小学校でやっていることと同じです。
\(11 = 4 + 7\) ➔ 11を別の形で表しただけ ➔ 因数分解も同じ！
ポイントを確認しましょう。
「イコール(=)」は「等しい」ことを表す記号です。
であれば「 \(11 = 4 + 7\) を思い出せる」ことは、数学を勉強する上では自然と言えます。
また、11円を4円と7円に分けることができると思いますが、数学ではこういう「11を4 + 7に変形する」ことを総称して「分解」と呼ぶことがあります。因数分解は、この「分解」の特殊なパターンなのです。
「 \(11 = 4 + 7\) 」の例で見てきたように、学校で「答えを出せ」「計算をしなさい」「〇〇を求めよ」ということばかりが「数学の本質」であるかのように錯覚してしまうと、数学はほとんどできなくなります。
2. 展開と因数分解の関係性
では、本題の因数分解に戻りましょう。
次の問いに答えてください。
問： \(3x(3x + y)\) を展開しなさい。
※ この問題が解けない方は、「分配法則」「展開」のページから学びなおしてみてください。
展開すると、次のようになりますね。
\(9x^2 + 3xy\)
では、次の問いに答えてみてください。
問： \(9x^2 + 3xy\) を見て、何を思いますか？
先ほどと同じ流れですね。今度はいかがでしょうか？気づけますかね？
\(9x^2 + 3xy\) は、 \(3x(3x + y)\) を展開した、つまり、同じ数値を表すわけですから、
\(9x^2 + 3xy = 3x(3x + y)\)
というのは数学的に正しいですよね。
これが「因数分解が何か」ということです。
「因数分解」とは「展開されたものを、展開される前の形になおすこと」ということができます。
実は、 \(11 = 4 + 7\) とやっていることは一緒なんです。
ただ、どうしても「公式がどうだ」とか、「こうすれば計算できる」ということを先に学んでしまうと、そもそも何をしているのが「因数分解」なのかがわからないまま、ただ暗記していることになるので、わかるわけがないんですね。
因数分解の公式を学ぶとか、因数分解ができるようになるというのは、「因数分解が何か」を何となくでも知ることの方が大事です。まずは「解くこと」「答えを求める」という呪縛から解放される必要があります。
正解できても、なぜその方法を使うのか理解していないと、少し難しい問題になった瞬間に対応できなくなります。
3. 【ステップ解説】初歩にして最強の基礎「共通因数でくくる」
そうは言っても、実際に問題を解きたいと思いますので、この解説ページでは1つだけ学びましょう。
因数分解の初歩であり、すべての因数分解の基礎中の基礎です。
それが「共通因数でくくる」というものです。
何だか難しい言葉ですね～。
“共通因数”という言葉が難しければ、“両方とも、同じ数や文字で割れる数”というふうに言い換えてみてください。
ここは、具体例をやってしまった方が簡単でしょう。
先ほどの問題を「展開する前がわからない場合、どう解けばいいか」を学んでみましょう。
問： \(9x^2 + 3xy\) を因数分解せよ。
手順①：式を「ブロック」に分けて、共通して割れる数を見つける
この式には「2つのブロック」が存在します。
1つ目のブロックは「 \(9x^2\) 」、2つ目のブロックは「 \(3xy\) 」です。
やらなければいけないことは、この2つのブロックから「両方とも、割り切れる数を見つける」ことです。
2つ並べてみて、順番に見つけていきましょう。
- まず「両方とも、3で割り切れる」ことはわかりますか？
- その次に「両方とも、xで割り切れる」ことはわかりますか？
つまり、この2つのブロックは「両方とも、 \(3x\) で割り切れる」ことになります。
※ ここがわからない方は、「文字式」がわかっていない場合がありますので、藤本数学塾の数学解説「文字式」のページから学んでみてください！
手順②：割り切れる数（共通因数）で割った「商」を求める
- \(9x^2\) を \((3x)\) で割ると ➔ \(3x\) となります。
- \(3xy\) を \((3x)\) で割ると ➔ \(y\) となります。
手順③：カッコの外に共通因数を出し、中に商を並べる
「共通因数」をカッコの外に出してあげます。そして、カッコの中に、割った商を並べてあげます。
\(3x(3x + y)\)
これで、「共通因数でくくる」因数分解の完成です！
執筆者・講師紹介：藤本数学塾
「暗記は思考するための武器である」
数学の学習で迷子になっている生徒のために、京大理学部卒のプロ講師が「なぜそうなるのか」を言語化し、自力で解けるようになるための具体的な解法暗記と理解のステップを伝授します。
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